近日，beat365官方网站量子材料科學中心進藤龍一（Ryuichi Shindo）課題組2020級博士生肖振宇等人，提出了描述費米子在連續測量下的時間演化的普适随機方程并發現它們的嚴格解。2025年4月7日，相關成果以“存在測量的量子動力學的普适随機方程”（Universal Stochastic Equations of Monitored Quantum Dynamics）在《物理評論快報》(Physical Review Letters)上在線發表。

測量和幺正時間演化是量子力學中最基本的組成要素。近年來，在存在測量的量子動力學中，人們發現了在平衡态中不存在的物象和非平衡相變普适類。這類新奇的動力學引起了人們的廣泛關注 [1]。對它們的研究不僅豐富了科學上對物象以及相變的認識，也為量子态的操控提供了理論指導。費米子作為構成世界的基本粒子，它們在測量下表現出的集體行為，引起了大量研究的興趣。即使對于沒有相互作用的費米子，在測量下也會展現豐富的現象。例如，該類系統是否存在由測量引起的相變存在一定的争議 [2-3]。其對稱性的刻畫，也沒有明确的結果。人們對于這類系統缺乏準确的理解很大程度上是因為缺少對于微觀模型的解析結果。

圖 1. 對 N 個費米子的強制測量（forced measurement）的二階瑞麗熵（Rényi entropy）的長時間行為的數值模拟。幺正動力學可以是由随機矩陣刻畫或者由一維局域的哈密頓量生成。(a) 上、下半部分分别對應N為奇數和偶數的情形。（b）N 為奇數。采用對數坐标。

作者們研究了費米子高斯混合态（Gaussian mixed state）在連續測量以及混沌幺正動力學下的時間演化。他們利用随機矩陣理論，推導出了描述它們密度矩陣譜随時間随機演化的普适的福克-普朗克方程（Fokker–Planck equation）。他們還獲得了這個方程的嚴格解。利用這個嚴格解，他們發現了一些測量下費米子的普适性質。他們發現，動力學演化會在長時間極限下會呈現出奇偶效應。如果系統擁有偶數個費米子自由度，它的熵會在測量下呈現指數衰減。而對于奇數個費米子自由度的情形，系統的熵則以多項式的方式進行衰減，這是一種動力學臨界現象的體現 （圖1）。此外，他們還發現在短時間極限下，系統的演化會普适地展現出混沌的行為。系統在給定時刻的熵是依賴于測量結果的随機變量，而熵的方差是一個普适的常數，他們解析地得到了這個常數 （圖2）。他們将這一現象稱之為普适熵漲落，它類似于中觀電子傳輸現象中普适電導漲落。

圖 2. 不同對稱類（不同顔色曲線）下的受測量的費米子動力學的數值模拟。（a）二階瑞麗熵 (b) 無窮階瑞麗熵在不同動力學實現下的方差的短時間下的行為。虛線代表解析的結果。

此外，他們系統地研究了如何刻畫連續測量下的費米子動力學的對稱性。他們發現這類動力學的普适性質隻取決于最基本的對稱性，如時間反演對稱性和粒子空穴對稱性。他們研究了有這些基本對稱性豐富的動力學，發現他們對應的不同普适類可以反應在他們對應的普适熵漲落上 (圖2)。值得注意的是，他們得到的結果是基于一類嚴格可解模型，但他們對更一般的物理模型進行了大量的數值模型，發現他們解析得到的結果可以普适地描述數值結果。

肖振宇為本論文第一作者兼共同通訊作者。東京大學副教授川畑幸平（Kohei Kawabata）為論文的共同通訊作者。本項工作的合作者還包括上智大學教授大槻東巳（Tomi Ohtsuki）。進藤龍一教授為該工作提供了重要幫助。上述研究工作得到了國家重點研發計劃和國家自然科學基金委項目等的支持。

論文鍊接：https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.134.140401

參考文獻：

[1] Z. Xiao, T. Ohtsuki, and K. Kawabata, Universal Stochastic Equations of Monitored Quantum Dynamics, Phys. Rev. Lett. 134, 140401 (2025).

[2] M. P. Fisher, V. Khemani, A. Nahum, and S. Vijay, Random quantum circuits, Annu. Rev. Condens. Matter Phys. 14, 335 (2023).

[3] O. Alberton, M. Buchhold, and S. Diehl, Entanglement transition in a monitored free-fermion chain: From extended criticality to area law, Phys. Rev. Lett. 126, 170602 (2021).

[4] I. Poboiko, P. Pöpperl, I. V. Gornyi, and A. D. Mirlin, Theory of free fermions under random projective measurements, Phys. Rev. X 13, 041046 (2023).