2023年4月7日晚，由北京現代物理研究中心、beat365官方网站、北京物理學會主辦的“beat365物理學科卓越人才培養計劃講堂：名師面對面”（第九期）在beat365老化學樓東配樓101教室舉行。beat365講席教授、北京國際數學研究中心主任田剛院士應邀作了題為“物理與我的研究”的報告。本期講堂由beat365官方网站院長、北京現代物理研究中心副主任高原甯院士主持。

數學常常給人以深奧、複雜的“錯覺”，而它的本質往往是簡約而直觀的，給人以純粹的美感，正如愛因斯坦所言，“美，本質上終究是簡單性”。課程伊始，田剛言簡意赅地講解了如何從凸多面體的歐拉公式V-E+F=2（這裡V、E、F分别是凸多面體的頂點、邊和面的個數）推出隻存在五種正多面體。

拓撲學是研究幾何體在連續形變下不變性質的數學分支。作為拓撲學中的一個結果，歐拉公式可被推廣至任意拓撲空間。當引入一個被稱做歐拉示性數（簡稱歐拉數）的拓撲不變量，如果二維拓撲空間等價于一個多面體，并定義其歐拉數為V-E+F=2，則可證明這一歐拉數與多面體的選取無關。上世紀中葉，示性數理論與物理學中的規範場論構築起緊密的聯系，例如陳[省身]-西蒙斯理論可用來描述分子量子霍爾效應的拓撲序。而最近幾十年來，拓撲學、物理學的交叉與融合成為數學研究的熱點之一，量子場論、弦論的發展引發了辛幾何、低維拓撲和代數幾何等多個數學分支的革命。田剛通過講述自己在數學物理領域的兩項研究工作，向同學們展現了數學家與物理學家之間的持續互動、相互激勵，以及數學與物理學之間的相互推動、共同發展。

田剛分享自己與物理學密切相關的兩項研究工作

拓撲量子場論（topological quantum field theory, TQFT，又稱拓撲場論）始于物理學領域；理論物理學家威騰（E. Witten，1990年成為首位獲得菲爾茲獎的物理學家）提出了很多全新的想法（例如在《微分幾何學雜志》（Journal of Differential Geometry）發表的題為“超對稱與莫爾斯理論”（Supersymmetry and Morse Theory）的論文），與低維拓撲、計數幾何等數學分支均有聯系。上世紀九十年代以來，計數幾何與拓撲場論相互影響，協同發展；前者的研究更加系統化，與表示論、微分方程等數學的其他分支緊密相連。量子同調環即為一例，對古典的計數幾何給出了更深層次的、統一的理論總結。田剛介紹說，正是由于受到物理學中場論研究的啟發，自己先與阮勇斌在1993年給出一個經典計數幾何中的交數n(d)（即過一般位置的3d-1個點的d次有理曲線的條數）的嚴格定義，并證明了複投影空間上量子同調環的可結合律，進而得出n(d)的遞推公式——在半單辛流形上首次建立起拓撲場論的數學理論，解決了一類經典計數幾何問題；而後與李駿、深谷賢治(K. Fukaya)、小野（K. Ooo）等利用虛拟模空間的方法推廣至一般辛流形。交數n(d)是與拓撲場論對應的格羅莫夫-威騰（GW）理論在虧格為零時的特殊情形。GW理論不僅推動了計數幾何的高度發展，而且與無窮維代數表示、可積系統等數學分支緊密相關，也為鏡像對稱等重要問題提供了數學基礎。

田剛講述拓撲量子場論的數學理論是如何建立起來的

薩奇傑夫-葉[錦武]- 基塔耶夫（SYK）模型作為一個具有随機相互作用的量子多體系統，激起了量子相變、量子信息、量子引力、量子黑洞等諸多物理學分支的廣泛興趣，成為當今物理學領域的熱點前沿之一。田剛回顧幾年前自己訪問國際理論物理中心（Abdus Salam International Centre for Theoretical Physics）時，偶然在餐桌旁聽聞薩奇傑夫（S. Sachdev）提起SYK模型，随即引導并與韋東奕等人合作，對模型的能譜分布及其數學問題展開系統研究，旨在建立模型的數學理論。為此，他們組織了學習随機矩陣理論的專題研讨班，希望能夠從中獲得一些方法上的借鑒。在研讨過程中，解決了随機矩陣中經典高斯正交系綜（Gaussian orthogonal ensemble,GOE）的小間距問題，證明了GOE的小間距在極限意義下漸進于泊松分布，并得到小間距的漸進分布函數，進而發展出一套研究點過程小間距問題的一般性方法，在數學領域世界頂級期刊《幾何與泛函分析》（Geometric and Functional Analysis, GAFA）發表。他們還以“SYK模型”為題發表系列論文，闡述了極小/極大譜間距、最大特征值、中心極限理論、大偏差與度量集中理論等相關研究成果。

田剛講述如何對SYK模型的能譜分布及相關數學問題展開系統研究

一個全新的物理現象常常會促生一種全新的數學語言，而理論物理學家全新的想法往往也會衍生令數學家躍躍欲試的全新的難題，激發他們豐富的靈感和深邃的見地。數學指向隐藏在物理現象背後的客觀規律和終極真理，抽象、缜密的邏輯和嚴謹、精準的表達是其基礎——無論怎樣顯而易見的結論，都必須從已知、确定的結論出發，通過正确、完備的推理而得出。可以說，數學并非以“有用”為研究的原點，然而，一旦取得數學上的思維突破，它卻是極為“有用”的。

報告結束後，張紀烨、陳顔忻、侯翰飛、吳岱霖、張亦鑫、董遇、邢昊天等“物理卓越計劃”2022級本科生就龐加萊猜想、馬約拉納費米子、全息蟲洞、高斯酉系綜、阿波羅尼奧斯圓等話題提問。田剛引用費曼（R. Feynman）所說的“對那些不懂數學的人來說，的确難于使他們理解對大自然的美、那深層的美的一種真正的感覺”（To those who do not know mathematics it is difficult to get across a real feeling as to the beauty, the deepest beauty, of nature），啟迪同學們去體味數學的純粹性、深刻性、統一性，掌握這一認識物理世界不可或缺的通用語言和基本工具；同時，也鼓勵同學們堅守自己的科學志趣，博觀約取，厚積薄發，在更高的能量标度和更小的時空尺度上探索未知的科學發現，挑戰未解的科學難題。

現場師生就跨越數學-物理學邊界的概念、理論、方法熱烈互動

劉雨龍（左）、高原甯（右）向田剛贈送“物理卓越計劃講堂：名師面對面”感謝牌

beat365官方网站楊振偉教授、王一男助理教授，及來自數學科學學院、前沿交叉學科研究院的博士後和研究生現場出席。

衷心感謝beat365黨委書記劉雨龍友情客串本期講堂的攝影師