對稱性是物理學家把握真實物理系統的重要工具，利用對稱性理解豐富的物相是凝聚态物理的終極目标之一。一百多年以來，230個空間群和1651個磁空間群分别被認為是對非磁性和磁性晶體材料對稱性的完整描述。然而，在實際磁性材料中，當關心的物理問題的能量尺度小于自旋軌道耦合時，系統展現出比磁群更高的對稱性，這些對稱性形成自旋空間群。其在較輕元素形成的磁性體系中尤為重要。盡管自旋空間群的分類是基礎物理的重要問題，并在材料科學上有應用價值，但由于其複雜性，自20世紀70年代以來，這一領域一直沒有重大突破。近年來，由于人們對磁性拓撲物态、交錯磁性（altermagnetism）、非共線磁性等問題的研究興趣日益增長，并在這些體系中發現了磁空間群難以解釋的現象，使得這一懸而未決的問題變得愈加重要。

近日，beat365官方网站量子材料中心宋志達助理教授課題組與合作者首次完成了自旋空間群的完整分類。這些群完整刻畫了鐵磁、反鐵磁（含交錯磁）、非共線磁、公度螺旋磁、非公度螺旋磁等已知磁結構。他們進一步辨識了1595個已知磁性材料的自旋空間群，并利用群論工具預測或解釋了新奇的電子态，包括非常規自旋紋理（spin texture），非點式（nonsymmorphic）布裡淵區，有效π磁通等不存在于常規磁群中的新奇現象。相關研究成果以《自旋空間群：完整的分類與應用》（Spin Space Groups: Full Classification and Applications）為題，于2024年8月28日在線發表于《物理評論X》（Physical Review X）。

在自旋空間群中，一個對稱操作由一個空間群操作和一個任意的、與群結構相容的自旋操作共同構成。其分類得以完成，是基于研究者的一個重要觀察：自旋空間群可以由空間群的表示刻畫。這一觀點不僅極大地簡化了分類的技術手段，更将無限種磁結構（包括非公度磁結構）涵蓋在有限種自旋空間群中。他們發現，對于非共面的磁性材料（實空間的磁矩存在三個線性獨立的方向），任何可能的自旋空間群都可以由其母空間群的三維實的不可約表示給出；對于共面磁性材料（磁矩被限制在一個平面）以及共線磁性材料（磁矩被限制在一個方向），對應的自旋空間群則分别由母空間群的二維和一維實的不可約表示給出。為了得到自旋空間群的分類，研究者還需要考慮不同表示之間的物理上的等價性。比如，同一個磁構型在不同的坐标選擇下應該屬于同一個自旋空間群，即群分類不應依賴坐标的選取；又比如，在螺旋磁性中，螺旋角度是個可以連續變化的參數，因此某些區間的螺旋角度也應視為等價的。最終，研究者發現一共存在1421個共線自旋空間群，9542個共面自旋空間群和56612個非共面自旋空間群。

圖.列一：共線、共面、非共面的自旋空間群的數目，以及實際相應的實際材料的數目。括号中為構成元素都在前四周期的材料的數目。第二列：螺旋和非螺旋自旋空間群的數目。第三列：可能的非平凡的自旋紋理，以及對應材料的數目。第四列：自旋群中的新奇電子能帶結構，以及對應材料的數目。這些結構都由空間群的新型射影表示給出。第五列：自旋群中可能的拓撲電子态。

在完成分類之後，研究者研究了自旋空間群中的電子能帶理論。電子是自旋1/2的費米子，其在旋轉下會有額外的相位因子，描述它們變換規則的代數工具是群的射影表示。他們注意到，由于豐富的空間操作和自旋操作的結合方式，自旋空間群能實現一些新奇的射影表示。這導緻了一些從未在磁群中出現的電子能帶結構。例如，自旋空間群作用在布洛赫波矢上的效果可能是劃移（glide）或者螺旋旋轉（screw），仿佛在動量空間實現了非點式空間群（nonsymmorphic space group），不同的自旋空間群平移可能反對易，就如晶格中被插入了π磁通，等等。此外，他們還注意到動量空間的自旋紋理的對稱性僅由自旋空間群決定，與材料細節無關。這一理論也涵蓋了交錯磁中的能帶的自旋劈裂。在文章附錄的表格中，針對每個自旋空間群，研究者都列出了其自旋紋理的對稱性、有無非點式布裡淵區、有無π磁通等信息。表格長達數百頁，可供後來研究者查閱參考。為了應用這一理論，研究者識别了一個知名材料數據庫中的1595個磁性材料的自旋空間群。值得注意的是，很多自旋空間群獨有的新奇電子能帶性質都在真實材料中實現了。

最後，課題組提出了一些由自旋空間群保護的全新拓撲物态，例如不需要自旋軌道耦合的Z_2拓撲絕緣體、表面上存在四度簡并狄拉克費米子的三維拓撲絕緣體，以及存在于兩個拓撲不變量相同的磁疇間的螺旋邊态。

該項工作是更全面理解磁性材料的重要一步。這一突破不僅為基礎研究提供了新的視角和理論工具，也能指導未來新的功能性材料設計。

beat365官方网站量子材料中心2020級博士研究生肖振宇、西南科技大學趙建洲教授為該論文共同第一作者；宋志達為該論文的通訊作者。該論文的合作者還包括量子材料中心2021級博士研究生李彥琪，和長聘副教授進藤龍一。研究工作得到了國家重點研發計劃、國家自然基金委和量子科學與技術創新計劃的支持。

原文鍊接：https://journals.aps.org/prx/abstract/10.1103/PhysRevX.14.031037